Heat

Уравнение теплопроводности

Это 2D-симуляция распространения тепла (диффузии) в плоской пластине. В основе лежит двумерное параболическое уравнение в частных производных.

Основные параметры:

\(a\) — коэффициент теплопроводности (определяет скорость распространения тепла)
Область расчёта: \(0 \le x \le L_x\), \(0 \le y \le L_y\)
\(u(x,y,0) = f(x,y)\) — начальное распределение температуры
\(u(x,y,t) = \varphi(x,y),\; (x,y) \in \partial\Omega\) — граничные условия (заданная температура на краях)

Вкратце: прямоугольная область разбивается на равномерную сетку. На граничных узлах температура фиксирована и известна для каждого момента времени. Температура во внутренних ячейках на каждом следующем шаге рассчитывается по явной разностной схеме через соседние точки.

Уравнение теплопроводности

u_t = a (u_{xx} + u_{yy})

Сетка по координатам и времени

Разобьём область на узлы:

x_i = i\Delta x,\quad y_j = j\Delta y,\quad t^n = n\Delta t

Обозначим сеточную функцию: \(u_{i,j}^n \approx u(x_i, y_j, t^n)\).

Явная разностная схема

Для внутренних узлов сетки используем формулу:

u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^n + \lambda_x \bigl(u_{i+1,j}^n - 2u_{i,j}^n + u_{i-1,j}^n\bigr) + \lambda_y \bigl(u_{i,j+1}^n - 2u_{i,j}^n + u_{i,j-1}^n\bigr)

где параметры \(\lambda\) определяются как:

\lambda_x = \frac{a\Delta t}{(\Delta x)^2}, \quad \lambda_y = \frac{a\Delta t}{(\Delta y)^2}

Алгоритм симуляции

Задать начальную температуру \(f(x,y)\) и граничную температуру \(\varphi(x,y)\).
Разбить область по \(x, y\) и времени на шаги \(\Delta x, \Delta y, \Delta t\).
Вычислить начальный нулевой слой (\(t = 0\)):
\(u_{i,j}^0 = f(x_i, y_j)\)
Задать граничные узлы:
\(u_{i,j}^n = \varphi(x_i, y_j)\) для всех \(n\). (Они не вычисляются по схеме, а берутся из известной функции).
Для каждого нового слоя по времени вычислять внутренние точки по явной формуле.
Повторять шаг 5 для отрисовки каждого кадра.

Замечание об устойчивости

Для явной схемы шаг по времени должен быть достаточно малым. Условие устойчивости:

\[ \lambda_x + \lambda_y \le \frac{1}{2} \]

Если ячейки квадратные (\(\Delta x = \Delta y = h\)), то это условие упрощается до:

\[ \frac{a\Delta t}{h^2} \le \frac{1}{4} \]

При нарушении условия схема «взорвётся» и расчёты уйдут в бесконечность.

Численное решение двумерного уравнения теплопроводности методом конечных разностей.